Questo è un articolo su come fattorizzare un polinomio di 3° grado. Esplorerà come fattorizzare attraverso il raggruppamento e usando il termine libero.
passi
Parte 1 di 2: Factoring per raggruppamento
Passaggio 1. Raggruppare il polinomio in due parti
Raggruppare il polinomio in due parti ci permette di affrontare ogni sezione individualmente.
Diciamo che stiamo lavorando con il polinomio x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Raggruppiamolo in (x3 + 3x2) e (-6x - 18)
Passaggio 2. Scopri cosa è comune a ciascuna parte
- Guardando (x3 + 3x2), possiamo vedere che x2 è comune.
- Guardando (-6x - 18), possiamo vedere che -6 è comune.
Passaggio 3. Estrarre i comuni dei due termini
- fattorizzazione x2 dalla prima sezione abbiamo x2(x + 3).
- Scomponendo il -6 nella seconda sezione, otteniamo -6(x + 3).
Passaggio 4. Se ciascuno dei termini ha lo stesso fattore, possiamo combinarli
Questo ci dà (x + 3)(x2 - 6).
Passaggio 5. Trova la soluzione osservando le radici
se hai x2 alla radice, ricorda che entrambi i numeri negativi e positivi riempiono questa equazione.
Le soluzioni sono 3 e 6
Parte 2 di 2: Factoring a termine gratuito
Passaggio 1. Riorganizzare l'espressione in modo che sia nella forma di aX3+bX2+cX+d.
Diciamo che stiamo lavorando con la seguente equazione: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Passaggio 2. Trova tutti i fattori di "d"
La costante "d" sarà il numero che non ha variabili, come la "x" accanto.
I fattori sono numeri che puoi moltiplicare per ottenere un altro numero. Nel nostro caso, i fattori di 10, o "d", sono: 1, 2, 5 e 10
Passaggio 3. Trova un fattore che uguaglia il polinomio con zero
Vogliamo determinare quale fattore rende il polinomio uguale a zero quando sostituiamo il fattore per ogni "x" nell'equazione.
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Iniziamo usando il nostro primo fattore, 1. Sostituiamo "1" con ogni "x" nell'equazione:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
- Questo ci dà: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Poiché 0 = 0 è vero, sappiamo che x = 1 è una soluzione.
Passaggio 4. Effettuare un piccolo aggiustamento
Se x = 1, possiamo riaggiustare l'equazione in modo che appaia un po' diversa senza cambiarne il risultato.
"x = 1" è la stessa cosa di "x - 1 = 0" o "(x - 1)". Abbiamo appena sottratto "1" da ciascun lato dell'equazione
Passaggio 5. Scomponi il termine nel resto dell'equazione
"(x - 1)" è il tuo termine. Vediamo se riusciamo a escluderlo dal resto dell'equazione. Andiamo un polinomio alla volta.
- Possiamo fattorizzare (x - 1) su x3? Non possiamo. Ma possiamo prendere in prestito un -x2 la seconda variabile; allora possiamo fattorizzarlo: x2(x - 1) = x3 - X2.
- Possiamo scomporre (x - 1) ciò che resta della nostra seconda variabile? No, di nuovo, non possiamo. Dobbiamo prendere in prestito un po' della terza variabile. Dobbiamo prendere in prestito un 3x da -7x. Questo ci dà -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Dato che abbiamo preso 3x su -7x, la nostra terza variabile è ora -10x e la nostra costante è 10. Possiamo scomporre questo fattore? Noi possiamo! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Quello che abbiamo fatto è stato riorganizzare le variabili in modo da poter scomporre (x - 1) nell'equazione. La nostra equazione riorganizzata dovrebbe assomigliare a questa: x3 - X2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, ma è sempre uguale a x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Passaggio 6. Continua a sostituire i fattori con il termine libero
Guarda i numeri che abbiamo preso in considerazione usando (x - 1) nel passaggio 5:
- X2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Possiamo riorganizzare questo in modo che sia molto più facile ripetere la fattorizzazione: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Stiamo solo cercando di scomporre (x2 - 3x - 10) qui. Ciò risulta in (x + 2)(x - 5).
Passaggio 7. La tua soluzione sarà il tuo termine fattorizzato
Puoi vedere se le tue soluzioni funzionano davvero rimettendole singolarmente nell'equazione originale.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Questo ci dà la soluzione di 1, -2 e 5.
- Rimetti il -2 nell'equazione: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Rimetti il 5 nell'equazione: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Suggerimenti
- Il polinomio di terzo grado è il prodotto di tre polinomi di primo grado o il prodotto di un polinomio di primo grado e un polinomio di secondo grado non scomponibile. In quest'ultimo caso, usiamo la divisione lunga dopo aver trovato il polinomio di primo grado per trovare il polinomio di secondo grado.
- Non ci sono polinomi di terzo grado all'interno di numeri reali che non possono essere fattorizzati, perché ogni polinomio cubico deve avere un termine reale. I cubi come x^3 + x + 1 che hanno un numero irrazionale non possono essere scomposti in polinomi con un intero o un coefficiente razionale. Sebbene possa essere scomposto con la formula cubica, è irriducibile come polinomio intero.