3 modi per semplificare le espressioni algebriche

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3 modi per semplificare le espressioni algebriche
3 modi per semplificare le espressioni algebriche

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Anonim

Imparare a semplificare le espressioni algebriche è un requisito essenziale per padroneggiare l'algebra di base, oltre ad essere uno strumento estremamente prezioso per tutti i matematici. La semplificazione consente a un matematico di trasformare espressioni complesse, lunghe o inappropriate in forme più semplici o più convenienti pur rimanendo equivalenti. L'abilità della semplificazione di base è abbastanza facile da imparare, anche per chi è contrario alla matematica. Seguendo pochi semplici passaggi, è possibile semplificare molti dei più comuni tipi di espressioni algebriche senza avere alcun tipo di conoscenza matematica. Leggi il passaggio 1 per iniziare!

passi

Comprendere concetti importanti

Semplificare le espressioni algebriche Passaggio 1
Semplificare le espressioni algebriche Passaggio 1

Passaggio 1. Definire i "termini correlati" per variabili e poteri

In algebra i “numeri affini” hanno la stessa configurazione di variabili, essendo elevati alle stesse potenze. In altre parole, perché due termini siano “affini”, devono avere le stesse variabili, o nessuna, e ciascuno di essi deve essere elevato alla stessa potenza, o addirittura nessuna. L'ordine delle variabili all'interno del termine non ha importanza.

Ad esempio, 3x2 e 4x2 sono termini correlati perché ciascuno di essi contiene la variabile x elevata alla seconda potenza. Tuttavia, x e x2 non sono termini correlati, poiché ciascuno ha x elevato a una potenza diversa. Allo stesso modo, -3yx e 5xz non sono termini correlati perché hanno ciascuno un insieme distinto di variabili.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 2
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 2

Passaggio 2. Considera la scrittura dei numeri come prodotto di due fattori

La fattorizzazione è il concetto di rappresentare un dato numero come prodotto di due fattori moltiplicati insieme. I numeri possono avere più di un insieme di fattori - ad esempio, il numero 12 può essere formato da 1×12, 2×6 e 3×4, quindi puoi dichiarare che 1, 2, 3, 4, 6 e 12 sono tutti i fattori di 12. Un altro modo di pensare è che i fattori di un numero sono quei numeri per cui è ugualmente divisibile.

  • Ad esempio, se vogliamo scomporre 20, possiamo scriverlo come 4×5.
  • Si noti che anche i termini variabili possono essere fattorizzati. -20x, ad esempio, può essere scritto come 4(-5x).
  • I numeri primi non possono essere scomposti in fattori perché sono divisibili solo per se stessi e 1.
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 3
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 3

Passaggio 3. Utilizzare l'acronimo PEMDAS per ricordare l'ordine delle operazioni

Semplificare occasionalmente un'espressione non significa altro che eseguire operazioni su quell'espressione fino a quando ciò non è più possibile. In questi casi è importante ricordare l'ordine delle operazioni per non commettere errori aritmetici. L'acronimo PEMDAS può essere di grande aiuto quando è necessario ricordare l'ordine delle operazioni: le lettere corrispondono ai tipi di operazioni che devono essere eseguite, nell'ordine:

  • PERimbracature.
  • Eesponenti.
  • mmoltiplicazione.
  • Dvisione.
  • ILedizione.
  • Ssottrazione.

Metodo 1 di 3: Combinazione di termini correlati

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 4
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 4

Passaggio 1. Scrivi la tua equazione

Le equazioni algebriche più semplici, quelle che coinvolgono solo pochi termini variabili con coefficienti interi e senza frazioni, radicali, ecc., possono spesso essere risolte in pochi passaggi. Come per la maggior parte dei problemi di matematica, il primo passo per semplificare l'equazione è scriverlo!

Come problema di esempio, per i prossimi passi, considereremo l'espressione 1+2x-3+4x.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 5
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 5

Passaggio 2. Identificare i termini correlati

Quindi, cerca la tua equazione per i termini correlati. Ricorda che termini simili hanno le stesse variabili e gli stessi esponenti.

Ad esempio, identifichiamo i termini correlati nell'equazione 1+2x-3+4x. Sia 2x che 4x hanno la stessa variabile elevata allo stesso esponente (in questo caso, le x non sono elevate a nessuna potenza). Inoltre, 1 e -3 sono termini correlati, poiché nessuno dei due ha variabili. Quindi, nella nostra equazione, 2x e 4x e 1 e -3 sono termini correlati.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 6
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 6

Passaggio 3. Combina i termini correlati

Ora che hai identificato i termini correlati, puoi combinarli per semplificare l'equazione. Somma i termini (o sottraili per i termini negativi) per ridurre ogni insieme di termini con variabili ed esponenti uguali a un termine singolare.

  • Aggiungiamo termini correlati nel nostro esempio:

    • 2x+4x = 6x.
    • 1+(-3) = - 2.
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 7
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 7

Passaggio 4. Crea un'espressione semplificata dai termini semplificati

Dopo aver combinato i termini correlati, crea un'espressione dal tuo set di termini nuovi e semplificati. Dovresti ottenere un'espressione più semplice, con un termine per ogni diverso insieme di variabili ed esponenti nell'espressione originale. Questa nuova espressione è la stessa della prima.

Nel nostro esempio, i termini semplificati sono 6x e -2, quindi la nuova espressione sarà 6x-2. Questa espressione semplificata è la stessa dell'originale (1+2x-3+4x), ma più piccola e più facile da risolvere. È anche più semplice da fattorizzare, il che, come vedremo in seguito, è un'altra abilità importante nella semplificazione.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 8
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 8

Passaggio 5. Rispettare l'ordine delle operazioni quando si combinano i termini correlati

In espressioni estremamente semplici come quella dell'esempio precedente, identificare i termini è semplice. Tuttavia, in espressioni più complesse, come quelle che coinvolgono termini tra parentesi, frazioni e radicali, i termini correlati che possono essere combinati potrebbero non essere immediatamente evidenti. In questi casi, segui l'ordine delle operazioni, eseguendo le operazioni sui termini nell'espressione secondo necessità, fino a quando rimangono solo l'addizione e la sottrazione.

  • Ad esempio, considera l'equazione 5(3x-1)+x(2x/2)+8-3x. Non sarebbe corretto identificare immediatamente 3x e 2x come termini correlati e combinarli nonostante le parentesi, poiché prima dobbiamo eseguire altre operazioni. Inizialmente, eseguiremo operazioni aritmetiche sull'espressione secondo l'ordine delle operazioni, al fine di ottenere termini che possiamo utilizzare. Vedi sotto:

    • 5(3x-1)+x(2x/2)+8-3x.
    • 15x-5+x(x)+8-3x.
    • 15x-5+x2.

      Ora, poiché rimangono solo le operazioni di addizione e sottrazione, possiamo combinare i relativi termini

    • X2+12x+3.

Metodo 2 di 3: Factoring

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 9
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 9

Passaggio 1. Identificare il massimo comun divisore nell'espressione

Il factoring è un modo per semplificare le espressioni rimuovendo i fattori comuni dai termini di espressione. Per cominciare, trova il massimo comun divisore condiviso da tutti i termini dell'espressione, in altre parole, il numero massimo per il quale tutti i termini dell'espressione sono equamente divisibili.

  • Usiamo l'equazione 9x2+27x-3. Nota che tutti i termini nell'equazione sono divisibili per 3. Poiché i termini non sono ugualmente divisibili per un altro numero maggiore, possiamo determinare che

    Passaggio 3. è il massimo comun divisore nell'espressione.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 10
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 10

Passaggio 2. Dividi i termini dell'espressione per il massimo comun divisore

Quindi, dividi ogni termine nell'equazione per il massimo comun divisore trovato. I termini risultanti avranno coefficienti inferiori rispetto all'espressione originale.

  • Scomponiamo in fattori la nostra equazione per il suo massimo comun divisore, 3. Per fare ciò, divideremo ogni termine per 3.

    • 9x2/3 = 3x2
    • 27x/3 = 9x
    • -3/3 = -1

      Quindi la nostra nuova espressione è 3x2+9x-1.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 11
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 11

Passaggio 3. Traccia la tua espressione come prodotto del massimo comun divisore e dei termini rimanenti

La nuova espressione non è la stessa della precedente, cioè non si può dire che sia semplificata. Per renderlo uguale al precedente, è necessario notare il fatto che è stato diviso per il massimo comun divisore. Racchiudi la tua espressione tra parentesi e imposta il massimo comun divisore dell'equazione originale come coefficiente per l'espressione tra parentesi.

Nel caso della nostra espressione di esempio, 3x2+9x-1, chiudiamo l'espressione tra parentesi e la moltiplichiamo per il massimo comun divisore dell'equazione originale per ottenere 3 (3x2+9x-1). Questa equazione è la stessa dell'originale, 9x2+27x-3.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 12
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 12

Passaggio 4. Utilizzare la fattorizzazione per semplificare le frazioni

Ci si potrebbe chiedere ora perché la fattorizzazione sia utile se, dopo aver rimosso il massimo comun divisore, la nuova espressione deve essere nuovamente moltiplicata per esso. In effetti, la fattorizzazione consente a un matematico di eseguire una serie di trucchi durante la semplificazione di un'espressione. Uno dei più semplici consiste nello sfruttare il fatto che moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero si ottiene una frazione equivalente. Vedi sotto:

  • Diciamo la nostra espressione di esempio originale, 9x2+27x-3, sii il numeratore di una frazione più grande con 3 al denominatore. Questa frazione sarebbe simile a questa: (9x2+27x-3)/3. Possiamo usare la fattorizzazione per semplificare questa frazione:

    Sostituiamo la forma fattorizzata della nostra espressione originale con l'espressione al numeratore: [3(3x2+9x-1)]/3.

  • Nota che ora sia il numeratore che il denominatore condividono il coefficiente 3. Dividendo entrambi per 3, otteniamo: (3x3+9x-1)/1.
  • Poiché ogni frazione che ha "1" al denominatore è uguale ai termini del numeratore, possiamo dire che la frazione originaria può essere semplificata a 3x2+9x-1.

Metodo 3 di 3: Applicazione di ulteriori abilità di semplificazione

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 13
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 13

Passaggio 1. Semplifica le frazioni dividendo i fattori comuni

Come notato sopra, se il numeratore e il denominatore di un'espressione condividono i fattori, quei fattori possono essere rimossi interamente dalla frazione. A volte ciò richiederà la fattorizzazione del numeratore, del denominatore o di entrambi (come nel caso descritto sopra), mentre altre volte i fattori condivisi saranno immediatamente evidenti. Si noti che è anche possibile dividere singolarmente i termini del numeratore per l'espressione al denominatore per ottenere un'espressione semplificata.

  • Facciamo un esempio che non richiede necessariamente una fattorizzazione immediata. Nel caso della frazione (5x2+10x+20)/10, possiamo forse dividere ogni termine al numeratore per il numero 10 al denominatore per semplificarlo, anche se il coefficiente “5” in 5x2 non è maggiore di 10 e quindi non può avere 10 come divisore.

    Così facendo arriviamo al risultato [(5x2)/10]+x+2. Se preferiamo, possiamo riscrivere il primo termine per (1/2)x2 per ottenere il risultato (1/2)x2+x+2.

Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 14
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 14

Passaggio 2. Utilizzare i fattori quadrati per semplificare i radicali

Le espressioni sotto il simbolo della radice quadrata sono chiamate espressioni radicali. Possono essere semplificati identificando fattori quadrati (fattori che sono quadrati di un dato numero) ed eseguendo l'operazione di radice quadrata su di essi separatamente per rimuoverli da sotto il segno di radice quadrata.

  • Prendiamo il seguente esempio: √(9). Se pensiamo al numero 90 come al prodotto di due dei suoi fattori, 9 e 10, possiamo prendere la radice quadrata di 9 per ottenere l'intero 3 e rimuoverlo dal radicale. In altre parole:

    • √(90).
    • √(9×10).
    • [√(9)×√(10)].
    • 3×√(10).
    • 3√10.
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 15
Semplifica le espressioni algebriche Passaggio 15

Passaggio 3. Aggiungi esponenti moltiplicando due termini esponenziali; sottrarli dividendo questi termini

Alcune espressioni algebriche richiedono la moltiplicazione o la divisione di termini esponenziali. Invece di calcolare ogni termine esponenziale e moltiplicare o dividere a mano, è sufficiente aggiungere esponenti durante la moltiplicazione e sottrarli durante la divisione, per risparmiare tempo. Questo concetto può essere utilizzato anche per semplificare le espressioni variabili.

  • Ad esempio, considera l'espressione 6x3×8x4+(x17/X15). In ogni occasione in cui è necessario moltiplicare o dividere per esponenti, sottrarremo o aggiungeremo, rispettivamente, per trovare rapidamente un termine semplificato. Vedi sotto:

    • 6x3×8x4+(x17/X15)
    • (6×8) x3+4+(x17-15)
    • 48x7+x2
  • Il motivo per cui funziona è il seguente:

    Moltiplicare i termini esponenziali è, in sostanza, come moltiplicare lunghe stringhe di termini non esponenziali. Ad esempio, poiché x3 = x×x×x e x5 = x×x×x×x×x, x3×x5 = (x×x×x)×(x×x×x×x×x), o x8

  • Allo stesso modo, dividere i termini esponenziali è come dividere lunghe stringhe di termini non esponenziali. X5/X3 = (x×x×x×x×x)/(x×x×x). Poiché ogni termine al numeratore può essere cancellato da un termine combinato al denominatore, ci rimangono due x al numeratore e nessuna al denominatore, ottenendo la risposta x2.

Suggerimenti

  • Ricorda sempre che devi pensare a questi numeri come a segni più o meno. Molte persone hanno difficoltà a pensare "Quale segno dovrei mettere qui?"
  • Chiedi aiuto quando serve!
  • Semplificare le espressioni algebriche non è facile, ma una volta che ci avrai preso la mano, utilizzerai questa abilità per tutta la vita.

Avvisi

  • Cerca sempre termini correlati e non lasciarti ingannare dagli esponenti.
  • Non sommare accidentalmente alcun numero, esponente o operazione che non appartenga all'espressione.

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